正規分布と標準偏差

ちょっとしたきっかけで、正規分布と標準偏差について改めて勉強することになりました。

正規分布とは、ある平均値の前後に数値がばらつく様子を表したグラフで、つりがね状の形になります。

標準偏差は、具体的なばらつき具合を数字にしたものです。

仮に、平均を５０、標準偏差を１０、ということにしたとき、ある数字はだいたい７５～２５までに収まるよう変換されます。これが偏差値です。

より詳しい話は、グーグル検索していただくとして。

実は、運用の話をするときに、期待されるパフォーマンスは１０％、標準偏差は２０％くらいのリスクがあります、という具合に解説をされる場合があります。標準偏差のことを単なる記号でシグマ（σ）と表すこともあります。これは、どういう理解をすればいいのかご存知でしょうか？

期待されるパフォーマンスが１０％ということは、とある投資案件（投資信託など）で、過去一定期間において、平均で１０％成長していた、ということを表しています。

一方、標準偏差２０％とは、平均を前後して上下20％ほど、パフォーマンスがばらつく、ということを表しています。

すなわち、パフォーマンスは将来、30％～－10％の範囲が期待できるというわけです。

ところで、パフォーマンスのばらつきが正規分布をすると仮定したとき、数学上では、この30％～－10％の間に、68.27％の割合でこの中に納まることになっています。

ついでに、「相場に絶対はない」ので、もっとパフォーマンスが上振れ、もしくは下振れすることを考えます。標準偏差の2倍、すなわち40％ぶれる可能性を考えます。

40％ぶれるとはすなわち、50％～－30％のパフォーマンスとなる可能性があるということになります。これも正規分布が前提とすると、実は、95.45％の確率でこの間のパフォーマンスに収まることになっています。

では、－30％ものパフォーマンスが起きる可能性は、実際には何％になるのでしょうか？　正規分布が前提であれば、ずばり、たったの2.28％です。

ついでに、－10％以下のパフォーマンスとなる確率は、16.87％です。おおよそ、6面サイコロの1を狙って本当に1が出る確率です。

以上のように、最悪これくらいのパフォーマンスになる確率というのは、正規分布を前提に平均と標準偏差の関係を理解していれば、おおよそ推測できるのです。もちろん絶対はありえないのですが、2%程度の確率になりそうな事象というのは、それほど起こらないだろうな、と、楽観的になったりできるのではないでしょうか？